浅谈变分原理及其一些应用

郑神州, 于海燕

doi:10.16854/j.cnki.1000-0712.230014

大学物理 >

2023 , Vol. 42 >Issue 10: 1

DOI: https://doi.org/10.16854/j.cnki.1000-0712.230014

教学研究

浅谈变分原理及其一些应用

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1. 北京交通大学数学与统计学院，北京100044; 2.内蒙古民族大学数理学院，内蒙古通辽028043

郑神州（1965—），男，浙江临海人，北京交通大学教授，博士，主要从事大学数学物理方法教学和偏微分方程研究工作.E-mail:shzhzheng@bjtu.edu.cn

收稿日期: 2023-01-14

修回日期: 2023-02-28

网络出版日期: 2023-11-06

基金资助

国家自然科学基金项目（12071021）；北京交通大学研究生课程建设项目（134001103522）资助

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A brief discussion on variational principle and some applications

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1. School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;
2. School of Mathematics and Physics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao, Inner Mongolia 028043, China

Received date: 2023-01-14

Revised date: 2023-02-28

Online published: 2023-11-06

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摘要

给出了变分原理的基本形式以及变分极值的欧拉-拉格朗日方程的推导，其次以短程线、测地线、最速降线和等周问题为例，分别推导出各具体形式的欧拉-拉格朗日方程表示式，并对相应原问题给出求解过程以及各种相关的推广.

关键词： 变分原理; 积分泛函; 欧拉-拉格朗日方程; 极值函数

本文引用格式

郑神州, 于海燕 . 浅谈变分原理及其一些应用[J]. 大学物理, 2023 , 42(10) : 1 . DOI: 10.16854/j.cnki.1000-0712.230014

Abstract

The variational principle is introduced, and its Euler-Lagrange equation for the minimum of variational problems in the setting of one dimension is described. Then, the corresponding specific expression of these Euler-Lagrange equations for taking a geodesic line, geodesic curve, Brachistochrone and isoperimetric problems are deduced as examples, respectively. The solutions of the corresponding original problems are obtained and the relevant generalizations are given.

Key words： variational principle; calculus of variations; Euler-Lagrange equation; extremum function

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